1、毕达哥拉斯悖论
昌盛年约在公元前531年,毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的出名数学家与哲学家。他曾经创建了一个合政治、学术、宗教三位一体的奥秘主义派系：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的出名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“统统数都可表成整数或者整数之比”则是这一学派的数学崇奉。但是，具备戏剧性的是由毕达哥拉斯树立的毕达哥拉斯定理却成为了毕达哥拉斯学派数学崇奉的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯思索了一个问题：边长为1的正方形其对于角线长度是几许呢？他发明这一长度既不能用整数，也不能用分数暗示，而只能用一个新数来暗示。希帕索斯的发明招致了数学史上第一个无理数√2 的降生。小小√2的呈现，却在那时的数学界掀起了一场宏大风暴。它直接摆荡了毕达哥拉斯学派的数学崇奉(统统数都可表成整数或者整数之比)，使毕达哥拉斯学派为之大为惊惧。实践上，这一伟大发明不单是对于毕达哥拉斯学派的致命冲击。对那时一切古希腊人的看法这都是一个极大的打击。这一论断的悖论性表示在它与知识的抵触上：任何量，在任何准确度的范畴内均可以暗示成有理数。这不单在希腊那时是人们遍及承受的崇奉，便是在本日，丈量技能已经高度开展时，这个断言也毫无破例是精确的！但是为我们的经历所确信的，完整契合知识的结论竟然被小小的√2的存在而颠覆了！这该当是何等违背知识，何等荒唐的事！它几乎把从前所晓得的工作基本颠覆了。更糟的是，面临这一荒唐人们居然毫无方法。这就在那时直接这一悖论直接冒犯了毕氏学派的基本信条，从而招致了西方数学史上一场大的风云，史称“第一次数学危急”。
与此同时的天下出名悖论：扯谎者悖论
扯谎者悖论是公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说的话：“一切克利特人都扯谎，他们中心的一个墨客这么说。”
假如这名墨客说的是真的，那末，克利特人便是扯谎者，这个墨客也不能解除在外；假如这名墨客扯谎，那末克利特人就不是扯谎的群体，这个墨客也该当不是扯谎者，这和墨客扯谎冲突。这便是悖论。
2、贝克莱悖论
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说，贝克莱悖论能够表述为“无量小量到底是否为0”的问题：就无量小量在那时实践使用而言，它必需既是0，又不是0。但从方式逻辑而言，这无疑是一个冲突。
十七世纪后期，艾萨克·牛顿（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）创建微积分学，成为处理浩繁问题的主要而有力的工具，并在实践使用中取得了宏大乐成，但是，微积分学发生伊始，迎来的并不是满是掌声，在那时它还受到了很多人的激烈进犯和责备，缘由在于那时的微积分首要树立在无量小剖析之上，而无量小厥后证实是包括逻辑冲突的。
1734年，大主教乔治·贝克莱(George Berkeley) “微小的哲学家”之名出书了一本题目很长的书《剖析学家；或者一篇致一名不信神数学家的论文，此中检查一下近代剖析学的对于象、准绳及结论是否比宗教的奥秘、崇奉的要点有更明晰的抒发，或者更分明的推理》。在这本书中，贝克莱对于牛顿的理论举行了进犯。比方他责备牛顿，为盘算比方说x＾2的导数，先取一个不为0的增量Δx，由(x + Δx)＾2 ? x，获得2xΔx + (Δx) ，后再被Δx除了，获得2x + Δx，末了忽然令Δx = 0 ，求得导数为2x 。这是“依托两重过错获得了不科学却精确的成效”。由于无量小量在牛顿的理论中一下子说是零，一下子又说不是零。因而，贝克莱讪笑无量小量是“已逝世量的鬼魂”。贝克莱的进犯虽然说出自保护神学的目的，但却真正捉住了牛顿理论中的缺点，是切中关键的。
3、罗素悖论
罗素悖论：设性质P(x)暗示“x不属于A”，现假定由性质P断定了一个类A——也便是说“A={x|x?A}”。那末问题是：A属于A能否建立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那末A具备性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于 A，也便是说A具备性质P，而A是由一切具备性质P的类构成的，所以A属于A。
罗素悖论另有一些更加浅显的描绘，如剃头师悖论。
剃头师悖论
在某个都会中有一名剃头师，他的广告词是如许写的：“自己的剃头身手非常高明，誉满全城。我将为本城一切不给本人刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对于列位暗示热忱欢送！”来找他刮脸的人络绎不停，天然都是那些不给本人刮脸的人。但是，有一天，这位剃头师从镜子里瞥见本人的胡子长了，他天性地抓起了剃刀，你们看他能不能给他本人刮脸呢？假如他不给本人刮脸，他就属于“不给本人刮脸的人”，他就要给本人刮脸，而假如他给本人刮脸呢？他又属于“给本人刮脸的人”，他就不应给本人刮脸。
剃头师悖论与罗素悖论是等价的：假如把每一个人当作一个汇合，这个汇合的元素被界说成这小我刮脸的对于象。那末，剃头师声称，他的元素，都是城里不属于本身的那些汇合，而且城里一切不属于本身的汇合都属于他。那末他能否属于他本人？如许就由剃头师悖论获得了罗素悖论。反过来的变更也是建立的。
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